Small talk

#Matherätsel

Jetzt wird es mal wieder richtig mathematisch. Vor einiger Zeit hatte ich mit meiner Frau ein Gespräch über Stellenwertsysteme - ohne jetzt noch zu wissen, warum sie sich erbarmt hat, mir bei diesem Thema zuzuhören. Dabei kam ich darauf, dass Stellenwertsysteme immer die 0 beinhalten. Und sie hat aktiv genug zugehört, um zu fragen, ob Stellenwertsysteme ohne 0 nicht möglich sind. Und schon kam ich ins grübeln. Und als nächstes ins ausprobieren. Und was soll ich sagen? Es funktioniert auch ohne die 0. Es ist nur sehr ungewohnt, damit zu rechnen. Aber dafür habe ich ja euch 😉

Aufgabenstellung: Wir haben ein Quasi-Dezimalsystem ohne das neutrale Element der Addition (0). Das System besteht aus den Ziffern
1,2,3,4,5,6,7,8,9,X, wobei X dem uns bekannten Wert 10 entspricht.

Wie wäre in diesem Stellenwertsystem die Schreibweise für:

a) 1010

b) 1000

Und welche Zahl im uns bekannten Dezimalsystem beschreibt:

c) XXX

d) 1X1

Wie immer bitte Lösungen nur per PN an mich. Viel Spaß beim knobeln 🙂

Hehe,habe gerade heute in einem alten Zeitmagazin (vom 28.11.24,Seite 18)gelesen, wie der Professor der Neurologie,Andreas Nieder,erforscht,auf welche Weise die "Null" in unserem Gehirn verarbeitet wird.Angeblich gab es die vor Fibonacci garnicht, weil vorher mit römischen Zahlen gerechnet wurde.
War mir ein bißchen zu hoch, aber vielleicht findet ja jemand den Link...
falls es interessiert !?

gammapappa wie erwartet vorne mit dabei. ich würde ja normalerweise sagen, dass seine ergebnisse stimmen, aber denen würde ich im zweifelsfall eher mehr trauen als meinen eigenen 😄 ich neige nämlich zu leichtsinnsfehlern. deshalb sage ich lieber: gammapappa kommt auf dieselben ergebnisse wie ich, was die wahrscheinlichkeit erheblich erhöht, dass meine berechnungen richtig sind 🎉

c7c5 hat vollständig gelöst 👏

mr20 löst 👏

bisher hält sich die löserzahl ja eher in grenzen. ich bezweifle, dass es an der schwierigkeit liegt, denn so schwer ist die wirklich nicht.

- wer im binär- oder hexadezimalsystem rechnen kann, kann diese aufgabe locker lösen
- wer unser dezimalsystem wirklich versteht, kann diese aufgabe locker lösen

also traut euch 🙂

manucoding löst 👏

will hier noch jemand? sonst löse ich morgen auf.

jetzt habe ich doch vergessen, gestern zu lösen. dann also heute. die lösungen sind:

a) 1010 = 9XX

b) 1000 = 99X

c) XXX = 1110

d) 1X1 = 201


die unteren beiden sind dabei sehr simpel auszurechnen, nämlich exakt genauso wie in unserem dezimalsystem. bei diesem gilt:

321 = 3*100 + 2*10 + 1*1.

und hier machen wir das exakt genauso:

c) XXX = 10*100 + 10*10 + 10*1 = 1110

d) 1x1 = 1*100 + 10*10 + 1*1 = 201

das umrechnen vom dezimalsystem ins pseudodezimalsystem ist nicht ganz so intutitiv, aber auch nachvollziehbar. vom dezimalsystem ins dezimalsystem (ja, sinnlos, aber so kann man das prinzip verstehen) könnten wir folgendermaßen umrechnen:

unsere zahl ist 987
finden der ersten ziffer: 7, also ziehen wir 7 ab und teilen den rest durch 10
die zahl ist nun 98
die zweite ziffer ist 8, also ziehen wir 8 ab und teilen den rest durch 10
übrig bleibt 9
also ziehen wir 9 ab und teilen durch 10
0/10 = 0, damit sind wir fertig. die drei ziffern fügen wir aneinander 9 8 7 = 987

warum haben wir das jetzt getan? um zu zeigen, dass wir bei der umrechnung vom dezimalsystem ins pseudodezimalsystem identisch vorgehen können. es gibt nur eine sonderregel: wenn wir eine 0 haben, müssen wir 10 abziehen und ein X setzen.

a) 1010
wir ziehen 10 ab und teilen durch 10. die erste ziffer ist X
wir haben 100
wir ziehen wieder 10 ab und teilen durch 10. die zweite ziffer ist X
wir haben 9, das können wir direkt verwenden.

das ergebnis ist 9XX

b) 1000
hier funktioniert es identisch.
wir haben eine 0, also ziehen wir 10 ab und teilen durch 10. die erste ziffer ist X
übrig bleiben 99
wir haben eine 9, die ziehen wir ab und teilen durch 10. die ziffer ist 9
übrig bleiben 9, das ist die letzte ziffer.

ergebnis: 99X

noch ein paar gedanken zur ästhetik: ich finde, dieses system hat etwas. die kleinste zahl mit n stellen ist immer eine reihe aus n 1ern (1111), die höchste immer eine reihe aus n Xen (XXXX). das ist in unserem dezimalsystem bei der kleinsten zahl anders, hier haben wir eine 1 gefolgt von n-1 0ern, z.b. 1000. da finde ich das pseudo-dezimalsystem tatsächlich eleganter.

das pseudodezimalsystem bildet die natürlichen zahlen ohne 0 vollständig ab. wenn man die 0 hinzufügt, hat man die natürlichen zahlen samt 0. bildet man hierzu die inversen (die inverse von X ist -X), kommt man damit auf die ganzen zahlen.

es ist immer schwer, von außen zu beurteilen, wie es sich rechnen würde, wenn wir mit diesem dezimalsystem aufgewachsen wären. wie das wäre, würde mich allerdings schon interessieren, wie ich gestehen muss. meine vermutung ist, dass die 0 als ziffer mehr vorteile als nachteile mit sich bringt.