Small talk - Mathematik: Wie groß ist die zentrale Fläche

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Mathematik: Wie groß ist die zentrale Fläche

RainerX - 15. Aug '22    
Nachdem ihr alle so fleißig Aufgaben stellt, möchte ich jetzt auch eine Mathematikaufgabe bringen. Das Rätsel habe ich auf Spiegel-Online gefunden. Einige der dortigen Rätsel sind in diesem Forum auch aufgetaucht, ich hoffe, diese Aufgabe gab es hier noch nicht. Sie ist gar nicht so einfach, wie es auf den ersten Blick erscheint.

Gegeben sei ein Quadrat mit Kantenlänge 1. Um jeden der vier Eckpunkte wird ein Kreis mit Radius 1 gezeichnet. Relevant sind nur die vier Viertelkreise im Inneren des Quadrates. Sie unterteilen die Fläche des Quadrates in 9 Teilflächen:
4x die Fläche A: A wird durch jeweils 2 Kreisbögen und eine Seite des Quadrates begrenzt
4x die Fläche B: B wird durch jeweils 3 Kreisbögen begrenzt
1x im Zentrum des Quadrates die Fläche C: C wird durch 4 Kreisbögen begrenzt
Frage: Wie groß ist diese zentrale Fläche C?

Lösungsvorschläge bitte per PN an mich
Bitte ohne Lösungsweg, es gibt anscheinend viele Weg zum Ziel, aber wer das korrekte „krumme Ergebnis“ schickt (am besten als Formel statt ausgerechnete Zahl), hat sicher auch einen richtigen Weg zum Ziel gefunden).

PS:
Unter dem folgenden Link steht auf Spiegel-Online das ganze bildlich und (wenn man weiter runterscrollt) auch ein möglicher Lösungsweg. Wer das richtige Ergebnis gefunden hat, kann seinen Lösungsweg ja mit dem dortigen vergleichen:
https://www.spiegel.de/karriere/wie-gross-ist-die-blaue-flaech..
Ich selbst habe die erste Formel in dem dortigen Lösungsweg allerdings bisher nicht verstanden, diesen Teil des Lösungsweges habe ich nicht aus der Graphik, sondern durch Integrieren ermittelt.
Alapin2 - 15. Aug '22    
Na, ob ich noch den ollen Zirkelkasten aus der Schule finde? 🤔
RainerX - 26. Aug '22    
Das Interesse, diese Aufgabe zu lösen, war ja recht übersichtlich 😉
Trotzdem will ich meine Lösung nicht vorenthalten, ich hoffe, ich habe alles richtig abgetippt. Jedenfalls fand ich es ähnlich wie beim Rätsel mit der Kiste und der Leiter, interessant, was für eine „krumme“ Lösung so eine einfache Aufgabe hat.
Also:
- gesucht ist die Fläche C
- wir legen das Quadrat mit der unteren linken Ecke in ein x-y-Koordinatensystem
- Fläche C ist die Fläche des Quadrates abzgl. (4 * Fläche A und 4 * Fläche B)
- Fläche B ist die Fläche des Quadrates (1) abzgl. (Viertelkreises (pi/4) und 2 * Fläche A)
- für einen Kreisbogen um den Ursprung gilt x^2 + y^2 =1, die Kreislinie wird also
beschrieben durch die Funktion y(x) = Wurzel (1 – x^2)
- A/2 ist Fläche eines halben Quadrates (1/2) abzgl. des Integrals von 0 bis ½ über y(x)
- Das Integral dieser Funktion schaut man in einer Formelsammlung nach,
- die Stammfunktion ist: ½ * ( x * Wurzel (1-x^2) + arcsin (x) )
- für die untere Grenze 0 ist dies 0
- für die obere Grenze ½ folgt: ½ * ( ½ * Wurzel ( ¾ ) + pi/6 ) = 1/8 Wurzel(3) + pi/12
- damit: A/2 = ½ - 1/8 Wurzel(3) - pi/12, also A = 1 – ¼ Wurzel(3) – pi/6
- damit: B = 1 – pi/4 - 2 + ½ Wurzel(3) + pi/3 = - 1 + 1/12 pi + ½ Wurzel(3)
- damit: C = 1 – 4 + Wurzel(3) + 2/3 pi + 4 – 1/3 pi - 2 Wurzel(3) = 1 – Wurzel(3) + 1/3 pi
- also C = 0,3151 …